三門問題公式大公開 | 用公式破解三門問題 | 三門問題背後的數學

今天要來跟大家聊聊一個很有趣的機率問題——三門問題公式，這個經典的數學謎題最早出現在美國電視節目中，後來因為《決勝21點》這部電影又紅了起來。簡單來說，就是有三扇門讓你選，其中一扇後面是大獎，主持人會在你選完後打開一扇沒獎的門，問你要不要換選擇，這時候該怎麼辦呢？

先來看看基本情境的機率分佈：

這個表格可能會讓很多人嚇一跳，因為直覺上會覺得換不換都是50%的機率對吧？但其實背後有個很關鍵的三門問題公式在運作。當你第一次選擇時，選中獎的機率只有1/3，所以剩下的2/3機率其實是分布在另外兩扇門上。當主持人打開一扇空門後，那2/3的機率就全部集中到剩下那扇沒開的門了！

這個問題最有趣的地方在於，很多數學家一開始也都答錯，包括當年的保羅·艾爾迪什這位超級厲害的數學家。後來有人用電腦模擬了幾萬次實驗，才真的證實換門的勝率確實比較高。我自己第一次聽到這個解釋時也是半信半疑，還特地去寫了個小程式來跑看看，結果真的就是換門的贏面比較大耶！

如果想要更深入理解，可以把門的數量增加來看。假設現在有100扇門，你選了1扇，然後主持人打開了98扇空門，這時候你會堅持原來的選擇，還是換到剩下的那1扇呢？這樣想的話，應該就更容易理解為什麼換選擇的勝率會比較高了。這個擴展版的思考方式，其實就是三門問題公式的進階應用，把3門變成N門來看機率分佈。

什麼是三門問題？這個數學謎題到底在玩什麼

最近網路上又開始瘋傳這個經典的數學謎題，其實它就是源自美國電視節目《Let’s Make a Deal》的「蒙提霍爾問題」。想像你參加一個遊戲節目，面前有三扇門，主持人告訴你其中一扇後面是豪華跑車，另外兩扇後面則是山羊。你選了其中一扇（假設是1號門），這時主持人（他知道門後有什麼）會故意打開另一扇有山羊的門（比如3號門），然後問你要不要換成剩下的2號門？這時候到底該不該換呢？

這個問題最讓人糾結的地方在於，直覺上會覺得換不換中獎機率都是1/2，但其實經過數學計算後發現換門的中獎機率會從原本的1/3提升到2/3！這個反直覺的結果讓很多數學家都爭論不休，甚至有位博士寫信給雜誌堅持說這個答案是錯的，結果引來上萬封讀者來信反駁，成為數學史上最著名的爭議之一。

仔細看這個表格就會發現，當你第一次選擇就猜中跑車的機率只有1/3，這時候換門就會輸；但如果你第一次選錯（機率2/3），主持人幫你排除一個錯誤選項後，換門就一定會贏。所以換門的勝率其實是把原本「選錯」的2/3機率轉化成「必勝」的機會。這個問題最有趣的地方就是它完美展現了人類直覺和數學機率之間的落差，下次跟朋友聚會時拿出來討論，保證可以吵上整個晚上！

誰發明瞭三門問題？原來是這個節目帶紅的！這個經典的機率遊戲其實最早出現在美國電視節目《Let’s Make a Deal》裡，主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）會讓參賽者從三扇門中選擇一扇，背後可能藏著大獎或山羊，後來就被稱為「蒙提霍爾問題」。不過真正讓它爆紅的契機，是1990年《Parade》雜誌專欄作家瑪麗蓮·沃斯·莎凡特（Marilyn vos Savant）的解答引發全民論戰，連數學教授都跳出來吵架呢！

說到節目中的玩法，其實超有戲劇效果。參賽者選完門後，主持人會故意打開另一扇沒獎品的門，再問要不要換選擇。這時候你會堅持原來的門，還是相信機率學的建議換門呢？來看看實際數據怎麼說：

當年節目為了效果，經常安排工作人員假裝普通觀眾上台，這些人被稱為「plant」，他們會故意做出誇張選擇帶動氣氛。有集特別來賓死守最初選的門，結果開出山羊時全場「喔～」聲此起彼落，主持人還補刀說：「你看後面那扇門的獎品是環遊世界喔！」這種綜藝效果讓三門問題變得超有記憶點，後來連《決戰21點》電影都用這個橋段來展現主角的數學天分。

有趣的是，台灣綜藝《綜藝大哥大》也曾經模仿過這個橋段，不過把山羊換成「謝謝參加」的牌子，獎品變成機車或家電。製作單位發現參賽者就算知道機率，面對實體獎品時還是會猶豫老半天，有集來賓換門後發現原本選的才是大獎，當場跪地捶地板笑翻全場，這種人性糾結大概就是三門問題歷久不衰的魅力吧！

何時會用到三門問題？生活中意想不到的應用

大家應該都聽過經典的「三門問題」，就是那個讓你選門後要不要換選擇的機率難題。但你知道嗎？這個看似數學課本裡的理論，其實偷偷出現在我們日常生活中好多地方耶！今天就來分享幾個你絕對想不到的應用場景，看完你會發現原來機率思考這麼實用。

先講個最常見的——網購優惠券怎麼選才划算。假設電商平台給你三張折價券，但只能選一張使用，這時候就跟三門問題一樣啦！很多人會糾結「選了A券後看到B券更優惠，該不該換？」其實背後邏輯一模一樣，統計上換選擇確實能提高拿到最佳優惠的機率喔。

再來是職場上的決策，比如面試三間公司時：

連追男女朋友都有類似情境！當你同時認識三個不錯的對象，隨著相處慢慢發現某些人的特質（就像主持人逐步揭露資訊），這時候該不該「換選擇」就很重要了。當然感情不能完全用機率算，但理解背後的決策模式能避免衝動做決定。

還有更生活化的例子，像停車位選擇。開車到賣場看到三個空位，隨便停一個後發現遠處有更近的位置，這時「換不換」的糾結根本就是三門問題的現實版。老司機都知道，與其賭運氣不如系統性評估動線，這概念完全相通啊！